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圓上有兩兩相異的3點，A、B及C，另圓內有一點O，若${\overline {OA}}={\overline {OB}}={\overline {OC}}$ ，證明O是圓心。

因为OA=OB=OC，同一圆内半径相等，

所以O为圆心。

在下果然猜對了，這一題很容易造成循環論證。何以見得OA、OB、OC是「半徑」？

我覺得還必須加前提:A≠B≠C

這個我有考慮過，但是我認為若無特別說明，「圓上有3點」即表示「圓上有『兩兩相異的』3點」，所以就沒有特別寫了。不過既然您提了，還是寫一下比較好。

是不是因果相反：因為O是圓心，所以${\overline {OA}}={\overline {OB}}={\overline {OC}}$ ？或反證O非圓心時，${\overline {OA}}={\overline {OB}}={\overline {OC}}$ 不可能成立。

沒有因果相反，就是要證明「若${\overline {OA}}={\overline {OB}}={\overline {OC}}$ ，則O是圓心」。當然它也等價於「O非圓心時，${\overline {OA}}={\overline {OB}}={\overline {OC}}$ 不可能成立」。

(但是O非圓心時，${\overline {OA}}={\overline {OB}}$ 顯然有可能成立，這就是關鍵的地方！)

这个方法如何：

设这个圆为X，以O为圆心，OA为半径另画一个新圆Y，因为，OA=OB=OC，所以OB，OC也是圆Y半径，所以点A,B,C在圆Y上，又因为A,B,C在圆X上，所以圆X与Y相交于A,B,C三点。但两个不同的圆至多只能有2个交点，故而X与Y为同一个圆，即O是圆X的圆心。

應該沒有問題，而且比在下的方法漂亮得多！

抱歉！當時敝人沒有問題，但現在有問題：那又為什麼兩個不同的圓至多只能有2個交點(不論半徑是否等長)？請問如何證明這個直觀的結果？謝謝！

從圖形學的角度來看，一條直線和一個圓相切只會有一個點，而相割會有兩個點，這是不爭的事實，因為線的前提是筆直而不能彎折。

同理，兩個圓相切時，會有一個切點，而與兩圓心垂直並自切點延伸出去的直線稱為切線；兩個圓相割時，會有兩個交點，而自兩交點延伸出去的直線稱為割線，即上個段落提到與圓相割的直線，得以證明圓相割會有一割線，而割線與圓相交的結果會有兩交點，又因割線必須為直線，因此最多只會有兩交點。

那麼與圓同樣是二元二次方程，為什麼相異的拋物線與拋物線(例如y+1=x^2與x+1=y^2)、相異的雙曲線與雙曲線(例如x^2-y^2=1與x^2-2y^2=-1)、相異的橢圓與橢圓(例如2x^2+y^2=1與x^2+2y^2=1)最多都可以有4個交點呢？

因為它不是直線。

圓也不是直線啊！它與拋物線一樣是圓椎曲線。另一方面，拋物線與拋物線也是有恰好交於一點或恰好交於兩點的時候。所以圓與拋物線的情況差別在哪裡呢？

不是直線是指其中有一個不是直線，並不是指圓，而您所述的皆非直線，我舉的例子當中有一個是直線。

假設原點為圓心，則圓的方程式為$x^{2}+y^{2}=r^{2}$。

您可以用這個方程式去計算圓和線的關係。

圓和拋物線差異在此：

$y^{2}=x^{2}-a^{2}$

$y^{2}=4ax$

圓的正交弦為$2a$，拋物線則為$4a$。

圓的焦點距準線距離為$\infty$，拋物線則為$2a$。

点o不就是三角形ABC的外心吗？ 外心是三角形外接圆的圆心，证明在教材里应该有吧。

這樣似乎也是循環論證吧！？不然請問又為什麼「外心是三角形外接圆的圆心」呢？

这是需要证明啊，我的意思是这个证明可以在教材里找得到，但我现在完全忘光了

可是「外心到三角形ABC三頂點等距」與「三角形ABC的外接圓是唯一的」也應該是兩件事，國民中學的教材的證明強調的是前者，而在下的題目要證明的是後者，不過彭鵬君已經給出證明了。而我目前是對他的證明的關鍵點有疑問，為什麼兩個不同的圓至多只能有2個交點(不論半徑是否等長)？

${\overline {OA}}={\overline {OB}}$ => 点O在${\overline {AB}}$中垂线上。同理点O在${\overline {BC}}$中垂线上。同理可证圆的圆心O'也在${\overline {AB}}$和${\overline {BC}}$的中垂线上。因为ABC两两相异，且在一个圆上，可以证明两条直线必然相交。因为两条直线相交只有一个交点，所以是唯一的，两个点是重合的。

是這樣證明沒錯，但是一年多前彭鵬君的方法(請見上方回覆)與您大異其趣，當然他也是對的，但是現在卻引起我一個新的疑問：

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在圓錐曲線中，相異的拋物線與拋物線(例如y+1=x^2與x+1=y^2)、相異的雙曲線與雙曲線(例如x^2-y^2=1與x^2-2y^2=-1)、相異的橢圓與橢圓(例如2x^2+y^2=1與x^2+2y^2=1)、拋物線與圓、拋物線與橢圓、拋物線與雙曲線、雙曲線與圓、雙曲線與橢圓、橢圓與圓(註)最多都可以有4個交點，那為什麼唯獨相異的圓與圓最多只能有2個交點？

註：拋物線3x^2+y=2、雙曲線2x^2-4y^2=1、橢圓2x^2+4y^2=3、圓x^2+y^2=1這四個圖形任選兩個來觀察，都會有4個交點。

跟二次项系数有关？相同离心率的椭圆应该也只有两个交点。

可是橢圓2x^2+y^2=1與橢圓x^2+2y^2=1的離心率不是一樣嗎(應該說它們是同一個橢圓旋轉90度而得)？然而它們有4個交點。

不是离心率，我指的是二次项系数的比值，比如上面一个是2一个是1/2，不知道数学上有没有专有名词，用离心率不对。

人類或動物是不是沒辦法垂直下拉到超過自己的重量 比如說與平面的桌子用垂直的力量下拉

1. 黑洞周圍是由無數正物質和反物質創造的絕對空間。 粒子相互競爭並達到平衡狀態。

2.任何掉進黑洞的東西都會被正反物質所吸收

3. 正反物質之間的抗衡，轉換率不等於100%，圍繞黑洞所放出的輻射，是粒子轉換釋放的能量，粒子轉換所消耗的

4. 人類沒法拿走黑洞附近的正反物質，一旦被拿走，兩物質之間的不平衡，將會導致宇宙大爆炸的發生

5. 人類可以提取黑洞附近的輻射作為能源

1. Surrounding a black hole, is an absolute space created by countless positive matter and antimatter. Particles competing against each other and achieve a state of equilibrium.

2. Anything that falls into a black hole will be absorbed by positive matter and antimatter.

3. The confrontation between positive matter and antimatter, the conversion rate is not equal to 100%, the radiation emitted by the black hole is the energy released by the transformation of particles, and the energy consumed by the transformation of particles.

4. Humans cannot take away the positive matter and antimatter near the black hole. If out, the imbalance between the positive matter and antimatter will lead to the Big Bang.

5. Humans can extract radiation near black holes as energy sources.

根據現行中華民國民法，如果我的舅媽和舅舅離婚了，我可以和她結婚嗎？「前舅媽」是否在「不得結婚」的範圍內？謝謝！

台湾地区的法律不是太了解，不过大陆地区的话我觉得是可以的，因为不能结婚的都是有血缘关系的，舅妈和你又没有血缘关系，所以结婚法律上应该没问题

沒有血緣關係，可以是可以，但是社會觀感不佳，請三思。

可以

我在網上看到一些日本色情電影的幕後花絮相片，不時見到一名幕後工作人員拿着一個紙杯，讓男優的手指放進杯裡。杯裡裝的是甚麼？有何作用？

我也不知道，但我沒看過。拍拍看就知道了。

$A,C,B$是圓上三相異點，圓內另有一點$O$，且${\overline {AO}}={\overline {BO}}={\overline {CO}}$，請問如何證明$O$是圓心？

设此圆以O为圆心，以|AO|为半径。

由圆的定义可知，所有到O距离为|AO|的点均在此圆上。

对于相异的两点B、C： 因为|BO|=|AO|，|CO|=|AO|，所以点B、C均在圆O上。

因此，点A、B、C均是以O为圆心的圆上的点。

此结论与原命题不矛盾，因此原命题得证？

（记得这样好像不行，但说不上哪里不对……）

循環論證吧！？你都已經「设此圆以O为圆心」了，還需要證明「O是圓心」嗎？

您可以試試用反證法，假設O不為圓心，圓內另一點P才是圓心，然後推論出O,P根本是同一點，或其他矛盾的結論，由此證明原假設錯誤，所以O是圓心。

或者諸位先進有其他方法，也請提供。謝謝！

所以沒搞明白，同樣都是設一個東西，循環論證和反證法有什麼區別⋯⋯

對於x^2=4，求證x=2是此方程的一個解。

設x=2是方程的一個解，則2^2=4成立。原命題得證。

對於x^2=4，求證x=3不是此方程的一個解。

設x=3是此方程的一個解，因為3^2=4不成立，所以x=3不是此方程的一個解。原命題得證。

對於x^2=4，求證x=3是此方程的一個解。

設x=3是此方程的一個解，但3^2=4不成立，因此x=3不是此方程的一個解。原命題錯誤。

這三個那個是循環論證，哪個是反證法？是推出矛盾就叫反證，推不出矛盾就叫循環論證嗎？

雖然上面三個論證得出的的結果都正確，但哪些步驟的邏輯是有誤的？

您這樣問我不知如何回答，我用我自己的話盡量口語化告訴您吧！

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循環論證就比方

1. 因為你犯過罪，所以你是罪人
2. 因為你是罪人，所以你良心不安
3. 因為你良心不安，所以你犯過罪

像這樣用A來證明B，再用B來證明C，最後繞回來用C來證明A，就是循環論證，這種證明是無效的，因為這等於說「因為你犯過罪，所以你犯過罪」。

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而反證法的原理是：你要證明A是B，就故意假設A不是B，以此為出發點，進行合理的推論，結果最後得出矛盾，這表示你一開始假設「A不是B」是錯誤的。但A要嘛是B，要嘛不是B，因此當你證明了「A不是B」是錯誤的，那麼「A是B」就必然是正確的了，於是你就證明了「A是B」。

以您所舉的例子，反證法應該是這樣證明的

對於x^2=4，求證x=2是此方程的一個解。

假設x=2不是此方程的一個解，則將x=2代入，必然2^2≠4，也就是4≠4，但4≠4明顯是錯誤、矛盾

為什麼會有矛盾呢？因為你一開始的假設是錯誤的，亦即「x=2不是此方程的一個解」是錯誤的

因此「x=2是此方程的一個解」才是正確的，於是便證明完畢了。

最後再強調一下，反證法是有效的證明方法，而循環論證是無效的。

還有您的證明如果是對的，當「A,B是圓上兩相異點，圓內另有一點O，且AO=BO」時，為什麼O卻未必是圓心呢？

所以说这个证法不对啊。

但如果题目是A、C、B是圆上相异三点，圆内另有一点O，且AO=BO<>CO，請問如何證明O是此圓的圓心？

设此圆以O为圆心，以|AO|为半径。

由圆的定义可知，所有到O距离为|AO|的点均在此圆上。

对于相异的两点B、C： 因为|BO|=|AO|，|CO|<>|AO|，所以点B在此圓上，點C不在圆O上。

因此，点A、B是圓上的點，點C不是圆上的点。

此结论与原命题矛盾，因此點O不是此圓的圓心。

這樣好像又是對的。不過看起來，三點確定唯一的圓。所以這種套路好像必定要出現三個點？

由 AO = BO 可知所有可能的 O 的位置都在一条直径（即 AB 连线的中垂线）上；同理，O 的位置也在 AC、BC 连线的中垂线，也就是另外两条直径上。因为直径的交点是圆心，所以 O 是圆心。

嗯！那請問AB線段的中垂线為什麼必然是一條直徑？

垂径定理中，已知一条直线垂直于弦且平分弦（AB线段是圆的一条弦，那条直线平分此弦且垂直于此弦），可以推出此直线经过圆心，也就是它是一条直径。

诶，这个问题以前不是问过了吗？Topic:Uxyzf4e96af9wk5k

抱歉！我完全忘記我在這裡問過了，我以為是在別處問的。

袋中有2008顆球，分別編號1,2,3,......,2008，每顆球被取出的機率相等，任取3顆球，這3顆球中編號最大者的編號為x，求x的期望值？謝謝！

從某處看到的蠻有意思的題目，答案是6027/4，但是我不會。

1. 2008颗球任取三颗，共$C_{2008}^{3}$种取法；
2. 三颗中最大值为1和2不可能，从最大者为3开始至2008，编号最大为 $x$ 时，有$C_{x-1}^{2}$种取法；

期望值：

$\sum _{x=3}^{2008}x\cdot {\frac {C_{x-1}^{2}}{C_{2008}^{3}}}$

计算中会用到：

$C_{b}^{a}={\frac {b!}{a!\cdot (b-a)!}}$

$\sum _{x=1}^{n}x^{2}=n(n+1)(2n+1)/6$

$\sum _{x=a}^{b}x=(a+b)(b-a+1)/2$

数字比较大但应该还是可以手算的。

是否還要用到${b+1 \choose a+1}={b \choose a}+{b \choose a+1}$？

${2008 \choose 3}$是常数，可以直接拆出来。 $x{{x-1} \choose 2}={\frac {x!}{2!(x-3)!}}={\frac {1}{2}}x(x-1)(x-2)={\frac {1}{2}}(x^{3}-3x^{2}+2x)$。常数拆出来，每一项单独求和。

$\sum _{x=3}^{2008}x\cdot {\frac {x-1 \choose 2}{2008 \choose 3}}=\sum _{x=3}^{2008}\left(x\cdot {\frac {(x-1)!}{2!\cdot (x-3)!}}\cdot {\frac {6}{2008\cdot 2007\cdot 2006}}\right)=\sum _{x=3}^{2008}\left({\frac {x!}{3!\cdot (x-3)!}}\cdot {\frac {6\cdot 3}{2008\cdot 2007\cdot 2006}}\right)={\frac {18}{2008\cdot 2007\cdot 2006}}\cdot \sum _{x=3}^{2008}{x \choose 3}$

單獨算$\sum _{x=3}^{2008}{x \choose 3}$

$={3 \choose 3}+{4 \choose 3}+{5 \choose 3}+{6 \choose 3}+\cdots +{2008 \choose 3}$

$={4 \choose 4}+{4 \choose 3}+{5 \choose 3}+{6 \choose 3}+\cdots +{2008 \choose 3}$

$={5 \choose 4}+{5 \choose 3}+{6 \choose 3}+\cdots +{2008 \choose 3}$

$={6 \choose 4}+{6 \choose 3}+\cdots +{2008 \choose 3}$

$={7 \choose 4}+\cdots +{2008 \choose 3}$

$={2008 \choose 4}+{2008 \choose 3}$

$={2009 \choose 4}$

期望值$={\frac {18}{2008\cdot 2007\cdot 2006}}\cdot {2009 \choose 4}={\frac {18}{2008\cdot 2007\cdot 2006}}\cdot {\frac {2009\cdot 2008\cdot 2007\cdot 2006}{24}}={\frac {6027}{4}}$

• 鉀＞鋇＞鈣＞鈉＞鎂＞鋁＞鋅＞鐵＞鈷＞鎳＞錫＞鉛＞銅＞汞＞銀＞鉑＞金

• 鉀＞銫＞鋇＞鍶＞鈣＞鈉＞鎂＞鋁＞錳＞鋅＞鉻＞鐵＞鈷＞鎳＞錫＞鉛＞銅＞汞＞銀＞鉑＞金

• 鋰＞銣＞鉀＞銫＞鋇＞鍶＞鈣＞鈉＞鎂＞鋁＞錳＞鈹＞鋅＞鉻＞鐵＞鈷＞鎳＞錫＞鉛＞銅＞汞＞銀＞鉑＞金

如上，謝謝。

多了去了，溴化氢碘化氢＋氨

不锈钢和铝制品如何区别

秤重量很容易就區別出來了，體積差不多大的時候鋁製品就會明顯比較輕。